Beitrag zur Berechnung zylindrischer Schraubenfedern. Von Regierungsbaurat z. D. Max Pilgram.Auszug aus der Dissertation des Verfassers, vorgelegt der Abteilung für Maschineningenieurwesen an der Technischen Hochschule zu Berlin. PILGRAM, Beitrag zur Berechnung zylindrischer Schraubenfedern. I. Allgemeine Voraussetzungen. Den üblichen Formeln der Hütte liegt die Annahme zugrunde, daß in den Querschnitten der Federn sich die Spannungen nach demselben Gesetz verteilen, wie im geraden Stabe gleichen Querschnitts. Ueber dieses Gesetz wird eine willkürliche Annahme gemacht. Eine andere zuweilen verwendete Methode benutzt das Gesetz für die Spannungsverteilung auf Grund der Theorie von de St. Vénant. In der vorliegenden Abhandlung wird nun vorausgesetzt, daß in allen Querschnitten der Feder sich die Spannungen nach demselben, vorläufig unbekannten Gesetz verteilen, und es wird festgestellt, welchen Einfluß der Wickelungshalbmesser auf dieses Gesetz und damit auf Formänderung und Beanspruchung hat. Auch wird über die Normalspannungen eine Theorie aufgestellt. Die Belastung ist achsial. Bei allen diesen Methoden wird eine kleine Steigung der Feder und Proportionalität zwischen Formänderungen und Spannungen sowie ein homogener Werkstoff vorausgesetzt. Zur Erzielung brauchbarer Formeln müssen die auftretenden Bessel'schen Funktionen durch ex bezw. e– x ersetzt werden. Der hierdurch entstehende Fehler beträgt weniger als 1,5 v. H., wenn das Verhältnis \frac{a}{g}\,\geq\,3 gewählt wird, s. Abb. 1. Textabbildung Bd. 337, S. 21 Abb. 1. Die Rechnung wird zunächst allgemein durchgeführt und auf den rechteckigen und runden Querschnitt angewandt. Es genügt, wenn nur der Fall berücksichtigt wird, wo \frac{h}{g}\,\geq\,1 ist, da beim stehenden Rechteck, \frac{h}{g}\,<\,1, infolge der geringen radialen Querschnittausdehnung ohne weiteres nach de St. Vénant gerechnet werden kann. Textabbildung Bd. 337, S. 21 Abb. 2. II. Die Formänderung der Feder. Die Feder werde durch eine zentrale achsiale Last P auf die Steigung Null zusammengedrückt, und es werde dann aus der belasteten Feder ein Segment mit dem Zentriwinkel α herausgeschnitten. Es ist zu untersuchen, wie dieses Segment vor der Belastung ausgesehen haben muß. Es kann offenbar angenommen werden, daß eine kreisförmige Faser vom Querschnitt dr . dy und dem Halbmesser r im unbelasteten Zustande schraubenförmig verlief. Ferner war der Radius vor der Formänderung gleich r – u und der Zentriwinkel gleich α – Cα . α. Endlich wird sich der Abstand y, Abb. 1, um den Betrag v geändert haben. Die Größen u und v sind streng genommen Funktionen von r und y, während Cα konstant ist. Endlich hatten die Querschnitte AB, Abb. 1, vor der Formänderung eine gewölbte Form A1Bl, d.h. die kreis- bezw. schraubenförmigen Fasern haben sich ohne Längenänderung gegeneinander verschoben, wodurch im Sinne der Spannung Tr siehe Abb. 1 und 3, eine Gleitung entsteht: - \vartheta=-\left[\frac{\delta\,\varphi}{\delta\,r}-\vartheta_0\right],       =-r\,\frac{\delta}{\delta\,r}\,\left(\frac{\varphi}{r}\right), und im Sinne von Ty sinngemäß die Gleitung -\frac{\delta\,\varphi}{\delta\,y}. Textabbildung Bd. 337, S. 21 Abb. 3. Der Uebergang aus der Schraubenform in die Kreisform bedingt im Sinne der Spannung Tr eine weitere Gleitung \frac{f}{2\,r\,\pi}=\frac{c}{r}, wenn f die Ganghöhe der Schraubenlinie. Man erhält demnach 1.      T_r=G\,(-\frac{r\,\delta}{\delta\,r}\,\left(\frac{\varphi}{r}\right)+\frac{c}{r}) 2.      T_y=G\,(-\frac{\delta\,\varphi}{\delta\,y}). III. Die aus den Formänderungen abzuleitenden Spannungen. Textabbildung Bd. 337, S. 22 Abb. 4. Aus den vorstehend angenommenen Formänderungen ergeben sich Dehnungen und Gleitungen im Sinne der Spannungen T, R, Y, S, Tr, Ty, s. Abb. 3, (die Spannungen treten paarweise auf, im Interesse der Uebersichtlichkeit ist in Abb. 3 jede Spannung nur einmal eingetragen), die also nach Einführung eines Elastizitäts- bzw. Gleitmoduls E und G auf diese Formänderungen zurückzuführen sind. Die Spannungen werden in Richtung von r, y, a nach den Gleichgewichtsbedingungen untersucht, wobei 3 Gleichungen entwickelt werden. Hierbei ist in Abbild. 3 zu berücksichtigen, daß die Spannungen mit zunehmenden Koordinaten r und y ebenfalls einen Zuwachs erfahren, dagegen nicht mit wachsendem a, da die Spannungen vom Winkel a unabhängig sein sollen. IV. Umformung der entwickelten Hauptgleichungen und Aufstellung der Grenzbedingungen. In tangentialer Richtung ergibt das Gleichgewicht \frac{1}{r^2}\,\frac{\delta}{\delta\,r}\,(r^2\,Tr)+\frac{\delta\,Ty}{\delta\,y}=0 und mit Benutzung der Gl. 1 und 2 \frac{1}{r^2}\,\frac{\delta}{\delta\,r}\,r^3\,\frac{\delta}{\delta\,r}\,\frac{\varphi}{r}+\frac{\delta^2\,\varphi}{\delta\,y^2}=0 oder umgeformt, wenn r^3\,\frac{\delta}{\delta\,r}\,\frac{\varphi}{r}=\frac{\delta\,\psi}{\delta\,y},\ -r^3\,\frac{\delta}{\delta\,y}\,\frac{\varphi}{r}=\frac{\delta\,\psi}{\delta\,r}-cr 3.      \frac{\delta^2\,\psi}{\delta\,y^2}+\frac{\delta^2\,\psi}{\delta\,r^2}-\frac{3}{r}\,\frac{\delta\,\psi}{\delta\,r}=-2\,c;\ c=\frac{f}{2\,\pi}, also nach Gleichung 1 und 2 4.      T_y=G\,\frac{1}{r^2}\,\frac{\delta\,\psi}{\delta\,r},\ T_r=-\frac{G}{r^2}\,\frac{\delta\,\psi}{\delta\,y} Am Rande des Querschnitts muß, wenn y = f(r) die Gleichung der Randkurve, Abb. 4, auf Grund des Gleichgewichts in tangentialem Sinne – Ty dr + Tr f'(r) dr = 0 also      \frac{\delta\,\psi}{\delra\,r}\,d\,r+\frac{\delta\,\psi}{d\,y}\,d\,y=0 Die Integration des vollständigen Differentials ergibt am Rande 5.      ψ = 0. Die Integrationskonstante kann Null gesetzt werden. Mit Hülfe des Gaußschen Integralsatzes wird bewiesen, daß die Momentensumme aller Spannungen Tr, Ty, wenn 0' als Bezugspunkt gewählt wird, verschwindet, ebenso die Summe aller wagerechten Spannungen Tr, während die Summe aller senkrechten Spannungen Ty gleich der Federbelastung P sein muß. Intergriert man also über den Querschnitt, so ist 6.      ∫∫ dr dy Ty P. Das Gleichgewicht der übrigen Spannungen R, S, Y, T führt auf zwei partielle Differentialgleichungen für u und v, deren allgemeine Lösung mit Berücksichtigung der Grenzbedingungen unmöglich ist. Es wird im nächsten Abschnitt ausführlich dargelegt, daß man mit großer Annäherung u = C (konstant) setzen und v vernachlässigen kann, womit zugleich die Spannungen Y, R, T verschwinden, und es bleibt 7.      S=E\,\left[-\frac{c}{2\,r^2}+C_{\alpha}+\frac{C}{r}\right];\ c=\frac{f}{2\,\pi}. -\frac{c^2}{2\,r^2} bedeutet die Verkürzung einer Schraubenlinie mit der Ganghöhe f und dem Halbmesser r auf einen Kreis gleichen Halbmessers: \frac{1}{r\,\alpha}\,\left[r\,\alpha-\sqrt{(r\,\alpha)^2+(f\,\frac{\alpha}{2\,\pi})^2}\right]=1-\sqrt{1-\frac{(c)^2}{r}}=\sim-\frac{c^2}{2\,r^2}. Die Konstanten in Gl. 7 ergeben sich aus: 8.       M = ∫∫ S dr dy . r = 0 9.              ∫∫ S dr dy         0, da sowohl das Moment aller Spannungen S in bezug auf die Federachse, als auch die Resultierende von S verschwindet. V. Die Berechnung der Spannungen R, Y, S, T mittelst Annäherungsverfahrens. Die Spannung S kann als Funktion nur von aufgefaßt werden. Die Integration ist zwar sehr umständlich, macht aber keine grundsätzlichen Schwierigkeiten und ergibt: 1. Für den rechteckigen Querschnitt, nenn \frac{b}{a}=\zeta: 10.      C\,\frac{a}{c^2}=\frac{1}{\zeta}\,\frac{\zeta^2-1-2\,\zeta\,log\,\zeta}{2\,log\,\zeta\,(\zeta+1)-4\,(\zeta-1)} 11.      C_{\alpha}\,\frac{a}{c^2}=\frac{1\,(\zeta-1)^2-\zeta\,log^2\zeta}{\zeta\,2\,(\zeta-1)^2-(\zeta^2-1)\,log\,\zeta} C ist die Zunahme des Wickelungshalbmessers, Cα die des Zentriwinkels 1, also Cα . 2π die Zunahme des Zentriwinkels einer Windung. Im Grenzfalle, ζ = 1, ist l=\frac{a+b}{2}=\sim\,a 12.      C\,\frac{1}{c^2}=1. 13.      C_{\alpha}\,\frac{l^2}{c^2}=-\frac{1}{2}. 2. Für den kreisförmigen Querschnitt: l=\frac{a+b}{2},\ \delta=\frac{g}{2\,l} s. Abb. 5 Textabbildung Bd. 337, S. 22 Abb. 5. In Gleichung 7 ist einzusetzen: 14.      C\,\frac{l}{c^2}=\frac{1}{\sqrt{1-\delta^2}}=\sim\,1+\frac{\delta^2}{2} 15. C_{\alpha}\,\frac{l^2}{c^2}=\frac{1}{\delta^2}\,\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-\delta^2}}\right)=\sim-\frac{1}{2}\,\left(1+\frac{3\,\delta^2}{4}\right) Im Grenzfalle, δ = 0, wird 16. C\,\frac{l}{c^2}=1,\ C_{\alpha}\,\frac{l^2}{c^2}=1\frac{1}{2}, vergl. Gl. 12 u. 13. Die Querschnittsform hat also im Grenzfalle keinen Einfluß. VI. Die Berechnungen der Schubspannungen im rechteckigen Querschnitt. Der Gleichung 3 genügt die Reihe 17. \psi=\Sigma\,A_n\,cos\,\frac{n\,\pi}{g}\,y\,v\,\left(\frac{n\,\pi\,r}{g}\right)+c\,\left(\frac{g^2}{4}-y^2\right) wenn v ein Integral von 18.      v''\,(x)\,\frac{-3}{x}\,v\,(x)-v=0. Bedingung ist, daß ψ am Rande des Querschnittes verschwindet. Für y ± g/2 verschwindet ψ, nenn n eine beliebige ungerade Zahl. Da nun ψ auch für r = a und r = b verschwinden soll, Gl. 5, so müssen die Konstanten A nach der Theorie der Fourierschen Reihen passend bestimmt werden. Setzt man 19.      v\,\left(\frac{a\,\pi\,n}{g}\right)=v\,\left(\frac{b\,\pi\,n}{g}\right)=v so wird 20.      A_n\,.\,v_0=\frac{-8}{g}\,sin\,\frac{n\,\,pi}{2}\,\frac{g^3}{n^3\,\pi^3}\,c. Wenn I und K die beiden Integrale von I''\,(x)+\frac{I'\,(x)}{x}-I=0, so ist mit einem konstanten B 21.      v = 2xl' – x2l + B(2xK' – x2K). Setzt man x=\frac{n\,\pi\,a}{g}=\alpha und x=\frac{n\,\pi\,b}{g}=\beta, so läßt sich mit Hilfe der Gl. 19 B ermitteln. Dann erhält man aus Gl. 4 und 6 22.  \frac{T_y}{G}=-\frac{8\,c}{gr^2}\,\Sigma\,sin\,\frac{n\,\pi}{2}\,\frac{1}{\frac{n^2\,\pi^2}{g^2}}\,\frac{1}{v_0}\,cos\,\frac{n\,\pi\,y}{g}\,v'\,\left(\frac{n\,\pi\,r}{g}\right). 23.  \frac{T_r}{G}=-\frac{8\,c}{g\,r^2}\,\Sigma\,sin\,\frac{n\,\pi}{2}\,\frac{1}{\frac{n^2\,\pi^1}{g^2}}\,\frac{1}{v_0}\,sin\,\frac{n\,\pi\,y}{g}\,v\,\left(\frac{n\,\pi\,r}{g}\right)+\frac{2\,c\,y}{r^2}. 24.      \frac{P}{G}=-\frac{16\,c}{g}\,sin^2\,\frac{n\,\pi}{2}\,\frac{1}{\frac{n^2\,\pi^2}{g^2}}\,\frac{w_0}{v_0}. 25.      nenn w_0=\int\limits_{r=a}^{r=b}\,v'\,(x)\,\frac{d\,x}{x^2}=\left[I\,\left(\frac{n\,\pi\,r}{g}\right)+B\,.\,K\,.\,\left(\frac{n\,\pi\,r}{g}\right)\right]_{r=a}^{r=b} Die Gleichungen sind praktisch nicht verwendbar, wenn man nicht vereinfacht: I\,(x)=\frac{e^x}{\sqrt{x}},\ K\,(x)=\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}, was mit einem Fehler von weniger als 1,5 v. H. möglich ist, wie nachgewiesen wird, sofern: a ≧ 3 g, Abb. 1. VII. Die Berechnung der Belastung P bei gegebener Durchbiegung f = 2πc. Setzt man \gamma=\frac{n\,\pi\,h}{g}, \alpha=\frac{n\,\pi\,a}{g},\ \beta=\frac{n\,\pi\,b}{g} so ist: \frac{-P}{G\,c}=\frac{16\,.\,g^3}{g\,.\,\pi^3}\,\frac{(a+b)}{a\,b}\,\Sigma_1^{\infty}\,\frac{1}{n^3} \frac{2\,(1+e^{-2\gamma})-\gamma\,(1-e^{-2\,\gamma})-\frac{8\,\sqrt{a\,b}}{a+b}\,e^{-\gamma}}{(\alpha+2)\,(\beta-2)-e^{-2\,\gamma}\,(-2)\,(\beta+2)}; hier ist \lambda=\frac{h}{g}\,\geq\,1,\ \gamma\,\geq\,\pi, γ ≧ π und man kann setzen 26. \frac{P}{G\,g\,c}\,\simeq\,\frac{16}{\pi^3}\,g\,\frac{(a+b)}{a\,b}\,\frac{\lambda\,pi-8+8\,e^{-\lambda\,\pi}\,\frac{\sqrt{a\,b}}{a+b}}{\left(\frac{a\,\pi}{g}+2\right)\,\left(\frac{b\,\pi}{g}-2\right)}+\frac{\lambda\,g^2}{a\,b\,\pi}\,\Sigma_3^{\infty}\,\frac{1}{n^4}-\frac{2\,g^2}{a\,b\,\pi^2}\,\Sigma_3^{\infty}\,\frac{1}{n^5} wo \Sigma\,\frac{1}{n^3}=0,0147,\ \Sigma\,\frac{1}{n^5}=0,004.. Es wird zahlenmäßig bewiesen, daß angenähert, sofern \frac{h}{g}\,\geq\,5, gesetzt werden darf: 27.      \frac{P}{G\,g\,c}=\frac{16}{\pi^3}\,g\,\frac{(a+b)}{a\,b}\,\frac{(3,19\,\lambda-2+4\,e^{-\lambda\,\pi})}{\left(\frac{a\,\pi}{g}+2\right)\,\left(\frac{b\,\pi}{g}-2\right)} 28.      \frac{P}{G\,g\,c}=\frac{32}{\pi^5}\,\left(\frac{g^2}{a\,b}\right)^{\frac{2}{3}}\,(3,19\,\lambda-2+4\,e^{-\lambda\,\pi}). VIII. Die Berechnung der größten achsialen Schubspannung Ty bei gegebener Durchbiegung f = 2πc. Die größte Spannung Ty ist den Koordinaten r = a, y = 0, Abb. 1, zugeordnet. Die Formeln werden in ähnlicher Weise vereinfacht, wie im vorigen Abschnitt, und man erhält 29.      T_{ymax}\,\frac{g}{G\,c}=\frac{4\,g^2}{a^2\,\pi^2} \left[\frac{2\,\frac{a\,\pi}{g}+1}{\frac{a\,\pi}{g}+1}-4\,\sqrt{\frac{a}{b}}\,e^{-\lambda\,\pi}\,\frac{\frac{a^2\,\pi^2}{g^2}-1}{\left(\frac{a\,\pi}{g}+2\right)\,\left(\frac{b\,\pi}{g}-2\right)}-0,175\right] Die Formel ist ersetzbar durch 30.      T_{ymax}\,\frac{g}{G\,c}=\frac{4\,g^2}{a^2\,\pi^2}\,\left[1,825-4\,\frac{a}{b}\,e^{-\lambda\,\pi}\,\frac{-3\,g}{4\,a}\right], wofür der Beweis zahlenmäßig für 1 ≦ λ ≦ 5 erbracht wird. IX. Die Berechnung der größten radialen Schubspannung Tr bei gegebener Durchbiegung f = 2πc. Dem größten Wert von Tr ist y=+\frac{g}{2} zugeordnet, dagegen macht es Schwierigkeiten, den zugehörigen Wert von r zu bestimmen. Es würde unzulässig sein, für r den mittleren Halbmesser l=\frac{a+b}{2} zu setzen. Dazu kommt, daß die Reihen schlecht konvergieren, wenn sich r dem Randwerte ra nähert. Es sei T'r der Wert von Tr, wenn y ± g/2. Dann stellt sich heraus, daß T' . r2 für einen gegebenen Querschnitt vom Wickelungshalbmesser nur wenig beeinflußt wird. Für \frac{a}{b}=\infty ergibt sich 31.      T'\,\frac{r^2}{^rG\,g\,c}=1-\frac{8}{\pi^2}\,\Sigma\,\frac{1}{n^2}\,\frac{1-e^{-\gamma}}{e^{\gamma}-e^{-\gamma}}. \left(e^{\frac{n\,\pi}{g}\,(r-l)}-e^{-\frac{n\,\pi}{g}\,(r-l)}\right) und diese Gleichung gilt allgemein für jeden Wert von \frac{a}{g}. Da auch diese Gleichung nicht auf ein Maximum untersucht werden kann, wird an Hand umfangreichen Zahlenmaterials für 1 ≦ λ ≦ 5 ermittelt, daß 32.      T_{rmax}=(1-1,45^{-\lambda\,\pi})\,\left(\frac{0,08\,(\lambda^2-1)}{\frac{a}{g}}+1\,\frac{g^2}{a\,b}\right) X. Unmittelbare Ableitung der Theorie de St. Vénant. Die bisher ermittelten Formeln gehen in der Tat in die Ergebnisse der Theorie von de St. Vénant über, wenn man zur Grenze übergeht und \frac{a}{g}=\infty bzw. \frac{l}{g}=\infty setzt. Die Theorie des Verfassers wird dadurch gestützt. XI. Die Berechnung von P und Tymax im kreisförmigen Querschnitt bei gegebener Durchbiegung f = 2πc. Eine geschlossene Lösung der Gleichung 3 mit Innehaltung der Grenzbedingung 5 ist nicht möglich, sie läßt sich aber sehr leicht durchführen, wenn man geringe Abweichungen von der Kreisform zuläßt. Die Genauigkeit dieser Abweichungen wird zahlenmäßig untersucht. Man kann mit Benutzung von Konstanten A, B, C setzen \frac{\psi}{c}=A+2\,B\,r^2+C\,r^4+4\,\By^2-y^2 und zwar verschwindet ψ am Rande, wenn -y^2=\frac{A+2\,B\,r^2+C\,r^2}{4\,B-1} die Gleichung der Randkurve ist, die bei passender Wahl der Konstanten der des Kreises sehr nahe kommt. Die Durchführung der ziemlich umständlichen Integration liefert 33.      \frac{P}{G\,c}=\frac{g^2\,\pi}{\sqrt{4\,l^2-\frac{g^2}{4}}}\,\frac{1}{16\,l^2+\frac{3}{2}\,g^2}=\sim\,\frac{g^3\,\pi}{32\,l^3} n Uebereinstimmung mit der Hütte. Die größte achsiale Schubspannung ergibt sich für r = a 34.      T_{ymax}\,\frac{g}{G\,c}=\frac{l\,g^2}{2\,a\,l^2\,\left(1+\frac{3\,g^2}{32\,l^2}\right)}=\sim\,\frac{g^2}{2\,a\,l} während nach der Hütte T_{ymax}\,\frac{g}{G\,c}=\frac{g^2}{2\,l^2}. XII. Zusammenstellung der Formeln. Bezeichnungen: Es bedeutet P die achsiale Federbelastung, f = 2πc die achsiale Verkürzung, C die Zunahme des Halbmessers, Cα . 2π die Zunahme des Zentriwinkels einer Windung, a den inneren, b den äußeren, l=\frac{b+a}{2} den mittleren Halbmesser, h = b – a die radiale, g die achsiale Querschnittsausdehnung, \lambda=\frac{h}{g}; S die Normalspannung, Trmax und Tymax die größte achsiale bzw. radiale Beanspruchung. Es kommen in Frage die Gleichungen 7, 10, 11, 14, 15, 27, 28, 29, 30, 32, 33, 34. XIII. Die Formeln des Verfassers gehen in die Formeln über, die sich aus der Theorie von de St. Venant ergeben würde, wenn man \frac{a}{g} bzw. \frac{l}{g} bzw. \frac{b}{g} unendlich groß annimmt. In Fällen, wo \frac{h}{a}, d.h. die radiale Ausdehnung des Querschnitts im Verhältnis zum Wickelungshalbmesser groß ist, ergeben sich zwischen den Formeln der Hütte von de St. Vénant und des Verfassers ganz erhebliche Abweichungen, wie an einem Beispiel bewiesen wird. Es wird darauf hingewiesen, daß alle Formeln nur zuverlässig sein können, wenn die Voraussetzungen zufolge Abschnitt I angenommen werden dürfen. Es ist nicht unmöglich, daß z.B. bei den Formeln der Hütte die Vernachlässigung der Steigung einerseits und die der genaueren Spannungsverteilung anderseits zu Fehlern führen, die einander aufheben. Für die praktische Berechnung insbesondere steil gewickelter und hochbeanspruchter Federn ist daher die Prüfung der entwickelten Formeln durch den Versuch erforderlich.