Biegungsschwingungen umlaufender Wellen. Von Dipl.-Ing. Ulrici, Charlottenburg. Schluß von Seite 92 dieses Bandes. ULRICI, Biegungsschwingungen umlaufender Wellen. Die theoretische Berechnung der Schwingungszahl einer Welle mit wechselnder Massen- und Trägheitsmomentverteilung ist als mathematisches Problem einfach und ihre Lösung ist bekannt. Die numerische Auswertung aber führt auf ein System transzendenter Gleichungen, deren unmittelbare Auflösung unmöglich ist. Auch die Anwendung von Näherungsmethoden ist praktisch aussichtslos, weil die Berechnungen fortwährend auf Differenzen von an sich schon sehr kleinen Zahlen führen. Der einzige, auch theoretisch als richtig nachweisbare Annäherungsweg besteht in folgendem: Man nimmt zunächst eine Form der Schwingungsdurchbiegung an. Wäre diese die richtige, so müßten die Kräfte, die sie bei der Schwingung erzeugt, überall proportional der Masse und der Durchbiegung sein. Man reduziert daher die wirklichen Massen an allen Stellen der Welle im Verhältnis der dort vorhandenen Durchbiegung, indem man sie mit dem Quotienten aus der jeweiligen Durchbiegung und der größten Durchbiegung multipliziert, nimmt eine beliebige überall gleich große Beschleunigung an, am zweckmäßigsten also die Erdbeschleunigung, so daß man an Stelle der Massen von vornherein mit den Gewichten arbeiten kann, und berechnet mit diesen Kräften die Durchbiegungslinie der Welle. Dann müßte sich als Resultat eine Linie ergeben, die von mathematisch ähnlicher Gestalt, wie die angenommene Biegungslinie ist. Da die erste Annahme wahrscheinlich nicht richtig war, wird die geforderte Aehnlichkeit nicht vorhanden sein. Dann nimmt man die neue Durchbiegungslinie als Schwingungsform der Welle an und verfährt genau so, wie eben beschrieben, um damit die zweite Annäherung zu erhalten. Dieses Verfahren muß so oft wiederholt werden, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist. Glücklicherweise konvergieren die Annäherungswerte schnell, so daß im allgemeinen die Berechnung der zweiten Annäherung allen Ansprüchen genügen dürfte. In der Grundlage der Rechnung selbst sind mehrere Quellen der Ungenauigkeit vorhanden, auf die noch eingegangen werden soll. So ist der Einfluß einiger, nur durch den Versuch bestimmbarer Faktoren größer, als der Fehler der ersten Annäherung. Als erste Form der Schwingungslinie wird meist eine gerade Linie angenommen; dann ergibt sich als Resultat die Durchbiegungslinie unter dem Einfluß des Wellengewichtes, die selbstverständlich von der wahren Schwingungsform abweicht. Trotzdem begnügt man sich allgemein mit dieser Annäherung. Einen ungefähren Ueberblick über die Genauigkeit des Verfahrens erhält man durch die Berechnung der Schwingungszahlen einer glatten Welle, da in diesem Fall die theoretisch genaue Zahl bekannt ist. Die Annahme der Gewichtsbiegungslinie als genügende Annäherung ergibt einen Fehler von ~ 12,5 % und zwar liegt die wirkliche Schwingungszahl höher, die Berechnung gibt also zu niedrige Werte. Die zweite Annäherung hat nur noch einen Fehler von 2,2 %, ebenfalls zu niedrig. Die Berechnung der dritten Annäherung ist bereits mit dem gewöhnlichen Rechenschieber zwecklos, weil die Differenzen zu klein werden. Die Durchbiegungslinie kann graphisch nach dem Mohrschen Verfahren als Seileck aufgezeichnet werden. Dazu wird die Welle in einzelne Abschnitte geteilt, deren Gewichte im Schwerpunkt der Abschnitte als Einzelkräfte anzusehen sind. Auf der gleichen Grundlage kann die Durchbiegung auch rein rechnerisch ermittelt werden. Ein Vergleich zeigt, daß die Genauigkeit beider Methoden gleich groß ist, wenn die graphische Zeichnung im Längenmaßstab 1 : 5 und die Rechnung mit dem kleinen Rechenschieber ausgeführt wird. Für beide Verfahren ist die Berechnung der Gewichte und Trägheitsmomente als Grundlage erforderlich, die einen wesentlichen Teil der Arbeitszeit erfordert. Die graphische Methode verlangt Sorgfalt und Uebung bei der Zeichnung der Parallelen und beim Absetzen der Kräfte, die Berechnung erfordert Sicherheit im Gebrauch des Rechenschiebers, besonders bei der Stellenbestimmung und Vermeidung von Rechenfehlern, obwohl nur gewöhnliche Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen auszuführen sind. Welches Verfahren das Geeignetere ist, hängt von der Veranlagung und Uebung des Ausführenden ab. Die Rechnung läßt sich schematisch in Tabellenform durchführen, kann daher von jedem sicheren Rechner gemacht werden. Die erwähnten Unklarheiten in den Grundlagen zu der Berechnung bestehen vor allem in dem Einfluß der anschließenden Wellen und Massen, der Wirkung der Lager, der Größe der Versteifung der Welle durch auf ihr mit verschiedener Sitzart aufgebrachte Teile und der Bedeutung von unsymmetrischer Gestaltung der Wellenquerschnitte, die dadurch in verschiedenen Ebenen von einander abweichende Trägheitsmomente ergeben. Die Folge dieser Einflüsse ist eine Verschiebung der Schwingungszahl, das Auftreten mehrerer, dicht bei einander liegenden Schwingungszahlen, die für die Maschine den gefährlichen Bereich verbreitern. Ueber die Größe dieser Einflüsse kann im wesentlichen nur der Versuch aufklären. In einzelnen Fällen kann eine Nachrechnung wenigstens in der Richtung Auskunft geben, in welcher Größenordnung sich der Unterschied der Schwingungszahlen bewegt und ob es sich lohnt bzw. erforderlich ist, den betreffenden Einfluß näher zu untersuchen und zu beachten. So zeigen die Formeln, daß eine Aenderung des Elastizitätsmoduls um einige Prozent eine Aenderung der kritischen Tourenzahlen um die Hälfte dieses Prozentsatzes in demselben Sinne zur Folge hat. Für ein Maschinenaggregat, dessen Welle in zwei aufeinander senkrecht stehenden radialen Längsebenen verschieden große Trägheitsmomente besaß, lag die eine kritische Drehzahl über 20 % höher als die andere. Wenn auch der Fehler der ersten Annäherung bei wirklich ausgeführten Wellen meist kleiner ist, als bei glatten Wellen, und sich etwa in der Größe von 3–5 % hält, ist es möglich, daß eine kritische Drehzahl vorhanden ist, die über 25 % höher liegt, als die berechnete. Allgemein kann man annehmen, daß die wirklichen kritischen Drehzahlen höher liegen, als die gerechneten. Liegt die Betriebstourenzahl erheblich niedriger, so wird immer genügend Sicherheit vorhanden sein. Umgekehrt ist jedoch Vorsicht geboten, dann kann aber der Durchgang durch die Krise beobachtet werden. Stellt man die bei den Proben und aus dem Betrieb gewonnenen Ergebnisse systematisch zusammen, so wird man leicht die erforderlichen Grundlagen für die richtige Beurteilung neuer Konstruktionen schaffen. Schließlich ist noch zu beachten, daß jede Rechnung für die Lagerung der Wellen eindeutige Verhältnisse zugrunde legen muß. Das Lagerspiel wird die kleinen Neigungen der frei aufliegenden Welle anfänglich meist gestatten. Bei stärkerer Ausbildung der Schwingung tritt aber eine Begrenzung in den Lagern ein, die sich dem Zustand der Einspannung mehr oder weniger nähert. Da hierfür die Eigenschwingungszahlen wesentlich höher liegen, tritt die Welle außer Resonanz, es treten dann Stöße in den Lagern auf, die zwar unangenehm, aber vielleicht ungefährlicher sind, als die Folgen eines zunehmenden Schwingungsausschlages ohne die Stöße. Bei der theoretischen Ableitung des Zustandes eines Maschinenaggregates ergeben sich außer der Krise bei Uebereinstimmung der Drehzahl mit der Biegungsschwingungszahl noch weitere gefährliche Drehzahlbereiche, wenn die Drehzahl gleich der Summe oder Differenz von Biegungs- und Torsionsschwingungszahl ist. Da Erfahrungen hierüber noch nicht bekannt geworden sind, scheinen diese Krisen bisher noch keine Schwierigkeiten bereitet zu haben. Nachstehend ist die Theorie der Berechnung der Biegungseigenschwingung kurz dargestellt: 1. Gewichtslose Welle mit einer Masse. Die Differentialgleichung der Schwingung lautet: m\,\frac{\delta^2\,y}{\delta\,t^2}=-c\,y mit der Lösung y = a sin η t; \eta=\sqrt{\frac{c}{m}} m ist die Masse, c die Federkraft der Welle pro Durchbiegungseinheit, die durch die elastischen Eigenschaften und die Art der Lagerung der Welle bestimmt wird. Eine Kraft P = m g (g = Erdbeschleunigung) verursacht eine größte Durchbiegung der Welle von f-\frac{P}{c}-\frac{mg}{c}. Setzt man hieraus m=\frac{c\,f}{g} in die Formel der kritischen Tourenzahl n_{\kappa}=\frac{31}{\pi}\,\eta ein, so ergibt sich die Föppelsche Formel: n_{\kappa}=\sim\,300\,\sqrt{\frac{g}{f}}. 2. Welle mit wechselndem Trägheitsmoment Ix und wechselnder Masse pro Längeneinheit qx. Der Elastizitätsmodul sei E. Dann lautet die Differentialgleichung: \frac{\delta^2}{\delta\,x^2}\,\left(E\,I_x\,\frac{\delta^2\,y}{\delta\,x^2}\right)=-q_x\,\frac{\delta^2\,y}{\delta\,t^2}. Die Lösung der Gleichung hat die Form y = f0(x) ∙ f(t) Da die Welle in allen Teilen mit der gleichen Periode und Phase schwingt, muß f(t) die Form haben sin ηt. Die f0(x) ist die Form der Welle bei größtem Schwingungsausschlag. Mit \frac{\delta^2\,y}{\delta\,t^2}=-f_0\,(x)\,\eta^2 ergibt sich: \frac{\delta^2}{\delta\,x^2}\,\left(E\,I_x\,\frac{\delta^2\,y}{\delta\,t^2}\right)\ \ \ \ \ \ q_x\,f_0\,(x)\,\eta^2\,sin\,\eta\,t. Damit lautet die Lösung: y=\eta^2\,sin\,\eta\,t\,\int\limits_0^1\,d\,x\,\int\limits_0^1\frac{d\,x}{E\,I_x}\,\int\limits_0^1\,d\,x\,\int\limits_0^1\,q_x\,f_0\,(x)\,d\,x. Da aber y = f0(x) sin η t, so folgt: \eta^2=\frac{f_0\,(x)}{\int\limits_0^1\,d\,x\,\int\limits_0^1\frac{d\,x}{E\,I_x}\,\int\limits_0^1\,d\,x\,\int\limits_0^1\,q_x\,f_0\,(x)\,d\,x}\ \ \frac{f_0\,(x)}{f_1\,(x)} f1(x) gibt ebenso wie f0(x) für jedes x einen bestimmten Wert es muß daher \frac{f_0\,(x)}{f_1\,(x)} an jeder Stelle der Welle denselben Wert η2 ergeben, da η2 für die ganze Welle gleich groß ist. Nimmt man nun irgend eine der Welle angepaßte Durchbiegungsform f0(x) an, so läßt sich f1(x) berechnen. Zeigt sich f1(x) nicht f0(x) proportional, so war f0(x) nicht richtig geschätzt. Mann nimmt nun f1(x) als Durchbiegungsform an, berechnet das vierfache Integral damit zu f2(x) und prüft ob f1(x) und f2(x) genügend proportional verlaufen. Das Verfahren wird solange fortgesetzt, bis eine hinreichende Genauigkeit erzielt ist, dann wird \eta^2=\frac{f_{(n-1)}\,(x)}{f_n\,(x)}. Meistens wird als f0(x) eine gerade Linie mit der überall gleichen Durchbiegung 1 zu Grunde gelegt und außerderdem statt der Massen qx deren Gewichte px eingesetzt. Natürlich verlaufen f0(x) = 1 und f1(x) niemals proportional und der Wert für η2 ist an allen Stellen der Welle verschieden. Setzt man jedoch den größten Wert von f1(x) = f0 ein, so zeigt sich, daß im allgemeinen bereits ein auf einige Prozent genauer Wert für η sich ergibt, der dann wie die Föppelsche Formel lautet: \eta^2=\frac{f_0\,(x)}{\frac{1}{g}\,f_1\,(x)}=\frac{g}{f_0};\ \eta=\sqrt{\frac{g}{f_0}};\ n_K\,\sim\,300\,\sqrt{\frac{g}{f_0}} Bei der Berechnung des vierfachen Integrales wurden keine Konstanten eingeführt, trotzdem deren vier multipliziert mit Potenzen von x vorhanden sind, weil ihre Berücksichtigung durch Anpassung der Resultate an die Grenzbedingungen ohne Schwierigkeit unmittelbar erfolgen kann. So genügt das Ziehen der Schlußlinie beim Mohrschen Verfahren der Forderung, daß die Momente, \frac{\delta^2\,y}{\delta\,x^2} bzw. die Durchbiegung y an den Wellenenden gleich 0 sein müssen. Auch bei dem nachfolgend angegebenen rein rechnerischen Verfahren kann diese und außerdem auch die Forderung der Einspannung oder freier Wellenenden unmittelbar während der Rechnung berücksichtigt werden. Zur Integration der einzelnen Kurvenabschnitte wird die Trapezberechnung mit Hilfe der Endordinaten ausgeführt. Sind Z(x–1) und \frakfamily{I}_x die Endordinaten des Abschnittes der Länge Ix so ist das Integral \frac{_{(x-1)}+\frakfamily{I}_x}{2} und die Summierung aller so berechneten Werte liefert das Integral über die ganze Welle. Dabei werden die immer wiederkehrenden Divisionen mit 2, und ebenso die sonst vorkommenden Divisionen und Multiplikationen mit Konstanten zum Schluß oder an einer sonst bequemen Stelle der Rechnung ausgeführt. Die beim dritten Integral erforderliche Division mit Ix erfolgt zweckmäßig gleichzeitig mit der Multiplikation mit Ix. Das folgende Beispiel läßt den Gang der Rechnung für eine an den Enden gestützte Welle erkennen. Als Grundlagen müssen die Längen der einzelnen Wellenabschnitte, in cm die äquatorialen Trägheitsmomente der Querschnitte in cm4 und ihre Gewichte in kg vorliegen. Die Welle ist in soviel Abschnitte zu unterteilen, als erforderlich ist, daß für jeden Abschnitt das Trägheitsmoment und die laufende Gewichtsbelastung konstant ist. Auf die Welle aufgebrachte Lasten werden entsprechend ihrem Sitz auf die Abschnitte gleichmäßig verteilt. Ergeben sich einzelne besonders lange Abschnitte, so sind sie in kleinere zu unterteilen, so daß die Länge aller Abschnitte von möglichst gleicher Größenordnung ist. Besonders gilt dies für Abschnitte mit großem Gewicht oder kleinem Trägheitsmoment. Je gleichmäßiger die Unterteilung ist, um so genauer wird das Resultat. Doch ist dabei die Genauigkeit der Rechnung selbst zu berücksichtigen, die bei Benutzung des kleinen Rechenschiebers höchstens vier Ziffern ergibt. Textabbildung Bd. 339, S. 101 Kurze Konusstücke können mit ihrem mittleren Gewicht und Trägheitsmoment eingesetzt werden. Längere werden zweckmäßig unterteilt. Das erste Integral stellt den Verlauf der Gewichtsbelastung der Welle dar, wenn, wie üblich, f0(x) = 1 gesetzt wird. Es kann daher unmittelbar durch Berechnung der Gewichte der einzelnen Abschnitte angegeben werden. Wird ein anderer Verlauf für f0(x) oder bei den folgenden Annäherungsrechnungen f1(x) angenommen, so werden die Gewichte der einzelnen Abschnitte mit den mittleren Ordinaten der angenommenen Funktion für den jeweiligen Abschnitt multipliziert und als neue Gewichte eingeführt. Im einzelnen gestaltet sich die Rechnung dann folgendermaßen: Man legt eine Tabelle (I) an und setzt in die erste vertikale Spalte die Nummer der Positionen, entsprechend der Anzahl der Wellenabschnitte, mit 0 beginnend, ein. Dabei bedeutet die Positionsnummer, daß der Abschnitt links von ihr gemeint ist. Die erste Spalte enthält die Längen der Abschnitte. Die erste Position ist hier gemäß vorstehender Definition stets = 0. Tabelle I. Textabbildung Bd. 339, S. 101 Die zweite Spalte enthält die Einzelgewichte der Abschnitte, stellt also \int\limits_{l_{(x-1)}}^{l_x}\,p_x\,f_0\,(x) dar. Die dritte Spalte wird durch Summierung der Werte der zweiten Spalte gebildet. Jede Position bedeutet daher das Gewicht der Welle bis zu dem betreffenden Querschnitt. Die letzte Position ist das Gesamtgewicht der Welle. Die vierte Spalte enthält in jeder Position die Summe der gleichen und vorhergehenden Position der dritten Spalte (also die Summe der Endordinaten des betreffenden Trapezes). Die fünfte Spalte enthält das Produkt der gleichen Positionen der ersten und vierten Spalte. Die sechste Spalte wird durch Aufaddieren wie die dritte Spalte gebildet. Die siebente Spalte enthält die Aufaddierung der Werte der ersten Spalte. Jede Position gibt also die Länge der Welle bis zu dem betreffenden Querschnitt. Die achte Spalte ist das Produkt der siebenten Spalte mit dem Wert, der durch Division der letzten Position der sechsten Spalte durch die letzte Position der siebenten Spalte entsteht. (Schlußlinie des Seilecks!) Die neunte Spalte enthält die Differenz der achten und sechsten Spalte. Die Werte geben den Verlauf der Momente. Die zehnte Spalte entsteht aus den Werten der neunten Spalte, wie die der vierten Spalte aus denen der dritten. Die elfte Spalte enthält die Werte \frac{l_x\,.\,10^6}{l_x\,.\,8}. Hier ist mit 106 multipliziert, um die kleinen Zahlen zu vermeiden und gleichzeitig durch 23 = 8 dividiert entsprechend der dreifachen Integration der ganzen Rechnung. Die zwölfte Spalte besteht aus den Produkten der zehnten und elften Spalte, dividiert durch 106, dem Faktor aus Spalte elf. Die dreizehnte Spalte entsteht wieder durch Aufaddieren, wie die sechste Spalte und ergibt die Neigungstangenten \frac{\delta\,y}{\delta\,x}. Die vierzehnte Spalte entspricht in der Bildung der vierten bzw. zehnten. Die fünfzehnte Spalte ist das Produkt der ersten und vierzehnten. Die sechzehnte Spalte ist die Aufaddierung der fünfzehnten. Die siebzehnte Spalte ist das Produkt der siebenten Spalte mit dem Wert, der sich aus der Division der letzten Position der sechzehnten Spalte mit der letzten Position der siebenten Spalte ergibt. Die achtzehnte Spalte enthält die Differenz der sechzehnten und siebzehnten Spalte und gibt nach Division mit dem Elastizitätsmodul E die Werte der Durchbiegung in cm. Beabsichtigt man eine weitere Annäherungsrechnung durchzuführen, so kann selbstverständlich die Division mit E, wie überhaupt jede Berücksichtigung von konstanten Zahlen, z.B. des Nenner 8 in Spalte 10, unterbleiben, da nur das Verhältnis zweier aufeinanderfolgenden Funktionen f(x), aber nicht ihr absoluter Wert in Betracht kommt. Nur, wenn man sich mit der ersten Annäherung der geraden Linie begnügt, muß mit allen Konstanten gerechnet und die kritische Tourenzahl aus der größten Durchbiegung berechnet werden. Ist die Welle symmetrisch, so braucht nur eine I Hälfte gerechnet zu werden. Der dadurch etwas veränderten Forderung der Grenzbedingungen zur Bestimmung der Integrationskonstanten genügt man dadurch, daß Spalte 3 und 12 nicht durch Addition von oben nach unten, sondern umgekehrt, von unten nach oben gebildet wird, und daß die Spalten 7, 8, 9, 17 und 18 ganz fortfallen. Spalte 16 gibt nach Division mit E die Durchbiegungen. Um für die folgenden Annäherungsrechnungen keine zu großen Zahlen für die reduzierten Gewichte zu erhalten, ist es zweckmäßig, das Verhältnis der einzelnen Durchbiegungen zur größten Durchbiegung zu berechnen und mit den so entstandenen Werten K die Gewichte der vorhergehenden Rechnung zu multiplizieren und diese dann als neue Gewichte in die Rechnung als Spalte 2 einzuführen. Für das Beispiel ist noch eine weitere hier nicht wiedergegebene Annäherung durchgerechnet. In der Tabelle II sind die Werte K0 der ersten Annahme, also überall 1, die Werte K1 der ersten Rechnung als zweite Annäherung und die Werte K2 der zweiten Rechnung als dritte Annäherung zusammengestellt. Die Verhältniswerte \frac{K_0}{K_1} und \frac{K_1}{K_2} zeigen die erzielte Annäherung des Verfahrens. Genau wäre die Berechnung erst dann, wenn sich das Verhältnis \frac{K_{n-1}}{K_n} überall = 1 ergeben würde. Tabelle II. K0 K1 K2 K0/K1 K1/K2 0 1 0,0 0,0 ∞ 1,0 1 1 0,1275 0,1259 7,84 1,01 2 1 0,242 0,238 4,13 1,016 3 1 0,427 0,421 2,84 1,015 4 1 0,747 0,727 1,34 1,028 5 1 0,887 0,86 1,13 1,03 6 1 0,959 0,925 0,045 1,036 7 1 1,00 0,963 1,0 1,038 8 1 0,929 1,00 1,075 0,929 9 1 0,917 0,986 1,09 0,93 10 1 0,9 0,849 1,111 1,06 11 1 0,626 0,518 1,596 1,21 12 1 0,325 0,285 3,07 1,14 13 1 0,125 0,158 8,00 0,79 14 1 0,0 0,0 ∞ 1,0 Das Beispiel betrifft eine für die Berechnung besonders ungünstige Welle; daher ist die Annäherung noch nicht groß. Bei normalen Wellen, deren größte Massenbelastung sich mehr in der Mitte konzentriert, liegt die mit der zweiten Rechnung erzielte Genauigkeit, wie schon erwähnt, meist viel höher. Die Multiplikationen und Divisionen des Beispiels sind mit dem kleinen Rechenschieber ausgeführt; die übertriebene Genauigkeit der Additionen und Subtraktionen, die bei der Weiterrechnung bedeutungsvoll bleibt, hat nur den Zweck, die Entstehung der Zahlen auseinander leichter erkennen zu lassen.