Beiträge zur Mechanik der freien Flüssigkeiten. Von Dr.-Ing. Karl Scholler, Hannover. SCHOLLER, Beiträge zur Mechanik der freien Flüssigkeiten. In unbegrenzten und reibungslosen Flüssigkeiten lassen sich Körperwiderstände nur ableiten, wenn entweder auf die Wirbelfreiheit oder auf die Kontinuität der Strömung verzichtet wird. Während beispielsweise bei Ermittlung dynamischer Auftriebskräfte die Wirbelfreiheit verneint und eine Zirkulation um die betrachteten Körper vorausgesetzt wird, werden zur Ermittlung von Körperwiderständen, so auch im Fall der ebenen Platte (Fuchs-Hopf „Aerodynamik“ S. 152 u. f.) Fig. 1, diskontinuierliche Strombereiche I und II angenommen, deren Bernoullische Gleichungskonstanten sich um den Betrag von \frac{{v_0}^2}{2\,g}\,\gamma unterscheiden, worin v0 die Geschwindigkeit der ungestörten Parallelströmung des Strombereichs I, γ das spez. Gewicht und g die Erdbeschleunigung bedeuten. Solange der Druck der ungestörten Parallelströmung des Strombereichs I gleich dem Druck des stagnierenden Bereichs II hinter der Platte ist, bleibt zwar für jeden der beiden getrennten Strombereiche die Kontinuität bestehen; wenn aber der Druck hinter der Platte geringer bzw. die Energiedifferenz beider Bereiche größer wird als \frac{{v_0}^2}{2\,g}\,\gamma, dann können die beiden Strombereiche nicht mehr bis ins Unendliche, durch eine Diskontinuitätslinie getrennt, nebeneinander verlaufen; denn der erhöhte Druckabfall hat zur Folge, daß die Geschwindigkeit längs der Diskontinuitätslinien größer wird als v0, und die aus Stromlinien und aus Orthogonaltrajektorien längs der Diskontinuitätslinien gebildeten Netzmaschenquadrate kleiner werden als die Netzmaschenquadrate der ungestörten Parallelströmung. Die Orthogonaltrajektorien müssen daher hinter dem Körper konvergieren und die Diskontinuitätslinien können sich deshalb augenscheinlich nicht mehr bis ins Unendliche erstrecken. Erfahrungsgemäß zeigt sich auch, daß die Diskontinuitätslinien in verhältnismäßig geringer Entfernung hinter dem umströmten Körper konvergieren und in der Stromschleppe des Körpers enden. Um den reibungslosen Übergang des ersten Strombereichs in den zweiten verständlich zu machen, soll angenommen werden, daß die Flüssigkeit des Bereichs I auf irgendeine Weise in Senken verschwindet, um als Flüssigkeit des Bereichs II mit geringerem Energiewert, aber in gleicher Menge, aus Quellen wieder in Erscheinung zu treten. Ein derartiger Übergang eines Strombereichs I in einen Strombereich II kann beispielsweise an der den Bereich I darstellenden Wasseroberfläche vor geschlossenen Stauwehren beobachtet werden, wenn kleine Flüssigkeitsstrahlen an undichten Stellen unten durch das Wehr in den Bereich II geringeren Niveauwertes austreten, während sich an der Oberfläche des Bereichs I trichterförmige spiralige Strudel bilden. Trotz der Wirbelähnlichkeit sind diese Gebilde keine einfachen Wirbel, weil ihre einzelnen Flüssigkeitsteilchen nicht in sich geschlossene, sondern spiralförmige Bahnen durchlaufen, die nur durch Ueberlagerung von Wirbeln und Senken entstehen können. Ursache dieser Spiralbildung ist also das gleichzeitige Vorhandensein einer Senke, der die Flüssigkeit zuströmt, nämlich der unter dem Wehr austretende Wasserstrahl. Ein ähnlicher Vorgang ist bei der Umströmung von Körpern zu erwarten, wenn sich ein Strombereich I höheren Energiewertes in einzelnen Stromfäden in einen Strombereich II niedrigeren Energiewertes hinter dem umströmten Körper ergießt. Textabbildung Bd. 341, S. 189 Abb. 1. Zur Veranschaulichung des gegenseitigen Ausgleichs zweier Bereiche und um den zu erwartenden nicht stetigen Stromverlauf auf einen stetigen zurückzuführen, wird zunächst unter Außerachtlassung des wirklichen physikalischen Vorgangs jedem Bereich eine besondere Betrachtungsebene nach Art Riemannscher Ebenen zugeordnet und der Abstand dieser übereinanderliegenden und parallelen Ebenen so gewählt, daß er der Differenz der Bernoullischen Konstanten der Strombereiche entspricht. Die geschilderten Strömungsvorgänge vor und hinter einem Wehr lassen sich dann ohne weiteres auf den Stromverlauf um beliebige Konturen übertragen; denn von jeder im Bereich I liegenden Spirale kann angenommen werden, daß sie in der Zeiteinheit ein gewisses Flüssigkeitsquantum in sich aufnimmt, das aus Quellen gleicher Ergiebigkeit in der Zeiteinheit im Bereich II wieder in Erscheinung tritt. Der Vorgang ist in Fig. 2 dargestellt, und zwar zeigt Fig. 2a die einzelnen aus sich überlagernden Senken und Wirbeln gebildeten ortsfesten Spiralen als kontinuierliches, von den Linien CC und XX begrenztes Band von Kreisen, während Fig. 2b die Wirbelstraße als Kette einzelner mehr oder weniger ovaler durch Diskontinuitätslinien begrenzter Spiralwirbel zeigt. Senken und Wirbel sind nach Lage und Stärke so angeordnet, daß analog den Strömungsvorgängen am Wehr die Stromlinien des Bereichs I längs der Linie XX ungestört in die Spiralen übergehen, während die darunter liegenden Quellen des Bereichs II gleichmäßig über die Querschnitte der von der Kontur CC und der Uebergangslinie XX begrenzten Wirbelstraße verteilt und von gleicher Stärke wie die über ihnen liegenden Senken des Bereichs I angenommen werden können. Sind Senken und Wirbel so gewählt, daß sich die Spiralen störungsfrei an die Stromlinien des Bereichs I anschließen, dann muß für die Spiralen die Bernoullische Gleichung des Bereichs I gelten und demzufolge die Stärke aller Wirbel und Senken konstant sein. Ist also y der Radius eines der Wirbel der Fig. 2a bzw. 2y die Breite der Wirbelstraße in einem betrachteten Querschnitt und ist v die Strömungsgeschwindigkeit des Bereichs I im Schnittpunkt der Linie XX mit diesem Querschnitt, dann wird wegen der Konstanz der Wirbelstärken: v . y = konstant. Textabbildung Bd. 341, S. 190 Abb. 2. Den wirklichen nicht stationären Stromverlauf zeigt Fig. 3. An Stelle der spiralförmigen ortsfesten Wirbelsenken und Quellen treten hier Wälzwirbel, die sich längs der Kontur CC abwälzen. Diese Wirbel nehmen, stetig wachsend, die Stromfäden F1 bis Fn des Bereichs I nach und nach in sich auf und verdrängen so gleichzeitig die sie umgebende Flüssigkeit des Bereichs II, mit der sie abschwimmen. Die Wälzwirbel haben also für den Bereich I die Wirkung von Wirbelsenken und für den Bereich II die Wirkung von Quellen, jedoch mit endlicher Kerngeschwindigkeit. Der Vorgang der Wälzwirbelbildung ähnelt dem Aufwickeln eines Fadens auf eine sich mit der Umfangsgeschwindigkeit \frac{v}{2} drehende Walze, deren Durchmesser beim Aufwickeln wächst und die sich mit der Geschwindigkeit \frac{v}{2} fortbewegt, während der Faden mit der Geschwindigkeit v der Walze zugeführt wird. Die bereits aufgewickelten Fadenteile beschreiben also keine spiralförmigen, sondern geschlossene Bahnen, und zwar um einen mit endlicher Winkelgeschwindigkeit rotierenden Kern. Der zwischen zwei Wälzwirbeln der Fig. 3 liegende Staupunkt T wandert mit diesen, während die durch T führenden Stromlinien in ununterbrochener Folge von F1 bis Fn wechseln, bis die Wirbelstraße mit Fn ihre größte Breite erreicht hat und die Wirbel in ihr als geschlossene rotierende Flüssigkeitskomplexe abschwimmen. Bezeichnet man wie in Fig. 2a die Druckdifferenz längs der unendlich kleinen Strecke Δ x der Linie XX mit Δ p und die entsprechende Differenz der Strömungsgeschwindigkeit mit Δ v, dann ist \left[v^2-(v-\Delta\,v)^2\,\frac{\gamma}{2\,g}\right]=\Delta\,p oder 2\,v\,.\,\Delta\,v\,.\,\frac{\gamma}{2\,g}=\Delta\,p. Durch Integration dieser Gleichung und Einsetzen des Wertes von v aus der Gleichung v . y = v0y0 = k folgt: v^2\,.\,\frac{\gamma}{2\,g}=\frac{{v_0}^2{y_0}^2}{y^2}\,\frac{\gamma}{2\,g}=p+C\mbox{ oder }y=f\,(x). Ist der ideale Stromlinienverlauf um ein beliebiges Profil, beispielsweise durch Wahl eines beliebigen Systems von Quellen und Senken bekannt (Fuhrmann, Göttinger Dissertation 1912) oder mittels eines Föttingerschen Vektorintegrators gefunden (Jahrbuch der Schiffbautechnischen Gesellschaft 1924, 25. Band) und deckt sich die innerste Stromlinie mit dem Verlauf der Kontur CC des Profils der Fig. 2 vor Punkt A und mit der Linie MM hinter Punkt A, dann sind auch p und v bekannt und y längs der Linie MM bezw. längs XX bestimmbar, sobald der Maßstab für die Größe y0 in der Gleichung y . v = y0v0 = k gewählt ist. Von der Ermittlung dieser, den Verlauf endgültig bestimmenden Größe soll zunächst abgesehen werden, da sie nicht nur von Form und Größe des umströmten Profils, sondern auch von der Reynoldschen Zahl abhängig sein muß und deshalb für eine gegebene Kontur verschiedene Werte annehmen kann. Ist die Größe y0 gewählt, so ergibt sich der Radius des kleinsten Wälzwirbels in Punkt B aus der Gleichung: v_{max}\,.\,y_{min}=v_0\,y_0=k\mbox{ zu }y_1=y_{min}=\frac{k}{v_{max}} und analog y_2=y_{max}=\frac{k}{v_{min}} der Radius des größten Wirbels im Punkt D. Zwischen Punkt A und B, also vor der Spiralzone, ist demnach noch eine Zone annähernd gleichen Drucks zu erwarten, die von Wälzwirbeln frei bleibt und entweder als laminar geschichtet oder von einer Diskontinuitätslinie vmax = const begrenzt anzunehmen ist. – Hinter Punkt D der Fig. 2 liegt, sofern der Flüssigkeitsdruck hier größer ist als der Druck p0 der Parallelströmung, kein Anlaß zu weiterem Wachsen der Wälzwirbel vor, und die Geschwindigkeit der Wirbelstraße muß hinter Punkt D entsprechend dem Druckabfall der Strömung wieder zunehmen. Geschwindigkeitszunahme und Querschnittsverringerung dieser dritten Schleppenzone können den Durchmesser ymax der abziehenden Wirbelkomplexe nicht mehr beeinflussen, lassen aber deren gegenseitigen Abstand wachsen, so daß einige der nächstfolgenden Stromfäden zwischen je zwei Wirbeln neue Wirbel bilden können und so die bekannte Wirbelstraßenturbulenz herbeiführen. Die Anwendung der dargelegten Wirbelentstehung auf die zur Stromrichtung quergestellte Platte ermöglicht die Berechnung des Unterdrucks längs der Plattenrückseite, wenn im Fall der in ruhender Strömung mit der Geschwindigkeit v0 bewegten Platte angenommen wird, daß die von der Vorderseite geleistete Arbeit zur Beschleunigung des Bereichs I, während die von der Rückseite geleistete Saugarbeit zur Beschleunigung des Bereichs II dient und daß somit beide Arbeitsprozesse in verschiedenen Betrachtungsebenen verlaufen. Fig. 4. Ist v1 die am Plattenrand gemessene Relativgeschwindigkeit zur Platte, dann ist der Unterdruck am Plattenrand ({v_1}^2-{v_0}^2)\,\frac{\gamma}{2\,g}. Unter der Voraussetzung, daß dieser Unterdruck für die ganze Plattenrückseite gilt, wird die von der halben Platte b geleistete Saugarbeit: A_s=v_0\,b\,({v_1}^2-{v_0}^2)\,\frac{\gamma}{2\,g}. – Die an sich willkürliche Annahme gleichmäßiger Druckverteilung längs der Plattenrückseite hat zur Folge, daß beim symmetrischen Stromverlauf der v1 zugeordnete Wälzwirbeldurchmesser 2y1 = b gleich der halben Plattenrückseite gesetzt werden kann und daß dann die Gleichung: y1v1 = ymax . vmin den größtmöglichen Wirbelradius ymax liefert, wenn vmin = v0 die Relativgeschwindigkeit der Platte zur ruhenden Flüssigkeit. Jedem Wert v1 entspricht also ein Wert ymax, solange die Wirbelbildung symmetrisch verläuft und sich über die ganze Plattenbreite erstreckt, während der Wert 4 ymax die ganze Breite der dem Bereich II angehörenden Wirbelstraße darstellt. Textabbildung Bd. 341, S. 191 Abb. 3. Ist Δ0 die Breite des den Wirbel im Bereich II bildenden Stromfadens in großer Entfernung vor der Platte, dann ist sein Breitenverhältnis zu dem der abziehenden Wirbelstraße \frac{\Delta_0}{2\,y_{max}} und die Abzugsgeschwindigkeit va der Wirbelstraße relativ zur Platte: v_a\,\simeq\,v_0\frac{\Delta_0}{2\,y_{max}}; setzt man y_{max}=\frac{y_1v_1}{v_0}, so folgt: v_a=\frac{\Delta_0{v_0}^2}{2\,y_1\,v_1} oder, wenn \frac{v_1}{v_0}=n, 2y1 = b und \frac{\Delta_0}{b}=m gesetzt werden: v_a=\frac{m}{n}\,v_0. Nun muß die Masse der sekundlich in den Bereich II eintretenden bezw. aus Quellen der Betrachtungsebene II heraustretenden Flüssigkeitsmenge Δ0 v0 aus dem Zustand der Ruhe in der Bewegungsrichtung der Platte beschleunigt werden, bis sie die Geschwindigkeit (v0 – va) erreicht hat. Die in der Betrachtungsebene II zu leistende Beschleunigungsarbeit Ab ist also: A_b=\Delta_0v_0\,(v_0-v_a)^2\,\frac{\gamma}{2\,g}. Da diese Arbeit nur von der Rückseite der bewegten Platte geleistet werden kann, folgt As = Ab oder durch Einsetzen obiger Werte: n^2-1=m\,\left(1-\frac{m}{n}\right)^2. Während also die von der Rückseite der bewegten Platte in der Betrachtungsebene II geleistete Arbeit die Wirbelstraße nur translatorisch beschleunigt, dient die von der Vorderseite der Platte in der Betrachtungsebene I geleistete Arbeit zur Wirbelbeschleunigung. Die Untersuchung der Gleichung n^2-1=m\,\left(1-\frac{m}{n}\right)^2 ergibt den größten für n erreichbaren Wert n = 1,077, wobei m = 0,372. Wenn n = 1 wie im Fall der Fig. 1 ist der Vorgang insofern physikalisch sinnlos, als beim Schleppen der Platte zur Beschleunigung des Bereichs II eine unendlich große Arbeitsleistung erforderlich wäre, die ohne entsprechenden Druckabfall an der Plattenrückseite undenkbar wäre. Der Wert n muß demnach unter dem Einfluß des Unterdrucks an der Plattenrückseite solange wachsen, bis die sekundlich in Wirbel umgesetzte Flüssigkeitsmenge Δ0v0 so groß ist, daß der zu ihrer Schleppbeschleunigung (Ab) notwendige Unterdruck den Wert (n^2-1)\,\frac{{v_0}^2}{2\,g}\,\gamma erreicht hat. Textabbildung Bd. 341, S. 191 Abb. 4. Ein etwas größerer und genauerer Wert für n wird erhalten, wenn man die Linie MM, wie in Fig. 5 dargestellt, von der Plattenkante ausgehen läßt und die kleinen Kreise mit den Radien ymin bis y1 berücksichtigt. Der Wert n = 1,077 gilt dann für die Plattenmitte und wächst bis zum Plattenrand, wo er seinen Höchstwert erreicht und das bekannte Auftreten eines kleinen kräftigen Randwirbels neben dem das gesamte Gebiet zwischen Platte und y2 ausfüllenden einheitlichen Spiralwirbel verständlich macht. Nach französischen Versuchen (la résistance de l'air et l'experience, tome I et II par 1'Jacob Paris, Libraire Oktave Doin 1921) soll \frac{v_1}{v_0}=1,16 sein; auch soll dieser Wert zu einer fast vollkommenen Übereinstimmung der experimentell ermittelten Widerstandswerte mit den rechnerisch gefundenen führen. Textabbildung Bd. 341, S. 191 Abb. 5. Ist für ein Profil oberhalb des Bereichs der kritischen Reynoldschen Zahl bei gegebener Geschwindigkeit in einer Flüssigkeit bestimmter kinematischer Reibung der Widerstand experimentell gefunden und daraus der Wert y0 ermittelt, dann kann bei Vergrößerung von v0 angenommen werden, daß y0 entsprechend abnimmt, weil vy = v0y0 und daß sich deshalb auch die Schleppenbreite verringert. Ferner kann gefolgert werden, daß bei wachsenden Profilabmessungen (d) aber gleichbleibendem v0 auch der Wert y0 sich nicht ändert. Da schließlich auch bezüglich der kinematischen Reibung v ein analoges Verhalten gegenüber y0 zu erwarten ist (Fuchs-Hopf „Aerodynamik“ S. 9), so kann innerhalb der physikalisch gegebenen Grenzen y_0=\frac{c\,d}{R}=\frac{c\,\nu}{v_0} oder c=\frac{y_0\,v_0}{\nu} gesetzt werden, worin R=\frac{vd}{\nu} die Reynoldsche Zahl und c ein dimensionsloser konstanter Zahlenfaktor. Die Annahme, die zu der Gleichung yv = cν bzw. \frac{y_0}{d}=\frac{c}{R} führte, kann für verschiedene Körper und Geschwindigkeiten nur richtig sein, wenn sie auch für die Laminarzone der Fig. 2 zutrifft; andernfalls gilt die Gleichung nur in der allgemeinen Fassung \frac{y_0}{d}=\frac{c}{f\,(R)} die das für Flüssigkeitswiderstände geltende Ähnlichkeitsgesetz zum Ausdruck bringt. Setzt man die Dicke der Laminarzone bei windschnittigen Konturen (Fig. 2) nach Prandtl wegen der Grenzschichtenreibung proportional dem Ausdruck \sqrt{\frac{d\,.,\nu}{v_{max}}} wobei: vmax die Strömungsgeschwindigkeit längs der Laminarzone näherungsweise konstant angenommen sein soll, dann wird, wenn ymin die halbe Zonenbreite am Ende der Laminarzone ist: y_{min}=c\,.\,\sqrt{\frac{d\,.\,\nu}{v_{max}}} woraus sich nach Einsetzen der Werte y_{min}=\frac{y_0v_0}{v_{max}} und \zeta=\sqrt{\frac{v_{max}}{v_0}} die Gleichung y_0=\frac{c\,.\,\zeta\,d}{\sqrt{R}} oder y_0v_0=y\,v=c\,.\,\zeta\,.\,\sqrt{d\,.\,v_0\,.\,\nu} ergibt, die nach einmaliger experimenteller Bestimmung der Konstanten c die näherungsweise Berechnung von Wälzwirbeldurchmessern und Flüssigkeitswiderständen beliebiger windschnittiger Profile und Körper bei verschiedenen Strömungsgeschwindigkeiten in Wasser und Luft ermöglicht.