Zuschriften an die Schriftleitung. Zuschriften an die Schriftleitung. Prof. Baudisch schreibt in Heft 1/2 1928: P_u=m\,\frac{d\,c_u}{d\,t}-m\,\frac{c^2}{\rho}\,sin\,\alpha Ich habe im Heft 15/16 1928 diese Gleichung um der Allgemeinheit willen, wie folgt richtig gestellt: P_u=m\,\frac{d\,c}{d\,t}\,.\,cos\,\alpha-m\,\frac{c_2}{\rho}\,sin\,\alpha Unschwer erkennt man aus dieser Sachlage, daß ich allgemein \frac{d\,c_u}{d\,t}\not=\frac{d\,c}{d\,t}\,.\,cos\,\alpha gesetzt wissen will. Nachdem nämlich cu = c ∙ cos α, so ist die einzig richtige Differentiation: dcu = d (c ∙ cos α) = dc ∙ cos α – c sin α ∙ d α, und nur für den Fall α = const. wäre aus der obigen Umgleichung der Fall einer Gleichung entstanden, womit allerdings die Allgemeinheit einer Ableitung verloren ist und nunmehr der spezielle Fall für α = const. behandelt wird. Dieser spezielle Fall entspricht einer logarithmischen Spirale und für diesen speziellen Fall hat Prof. Baudisch in seiner Originalarbeit die zitierte Gleichung angeschrieben. Dies habe ich in meiner Richtigstellung genau angegeben. Prof. Baudisch sagt aber in seiner Erwiderung, daß ich es wäre, der dcu = dc ∙ cos α eingesetzt haben will. Diese Entstellung meiner Zuschrift muß ich zurückweisen. Ich wiederhole hierbei nochmals ausdrücklich, daß die Richtigkeit und Allgemeingültigtigkeit der Gleichungen 3) in der Originalarbeit des Herrn Prof. Baudisch einzig dem Zufall zu danken ist, daß die Gleichung 2) ebenfalls für eine log. Spirale gilt, und betone, daß eine solche Form einer Ableitung keinen Anspruch auf allgemeines Resultat erheben kann. Die Gültigkeit der Gleichung 2) für die log. Spirale gibt Prof. Baudisch heute bereits zu. (Seinerzeit sagte er allerdings „Nach der Lehre von der Krümmung der Kurven“ gelte Gl. 2), also galt sie damals allgemein, heute nicht mehr.) Er sagt aber weiter: nachdem in jedem Punkte einer beliebigen Strombawhn eine log. Spirale als Schmiegungskurve gelegt werden kann, gilt Gl. 2) auch für jede beliebige Strombahn. Ich glaube, daß mit dieser Aeußerung Herrn Prof. Dr. Baudisch eine Entgleisung passiert ist. Wohl kann man in jedem Punkte der beliebigen Strombahn eine Schmiegungskurve der gewünschten Form legen, doch ist es ohne weiteres einleuchtend, daß jedem Punkte eine andere log. Spirale zugehört, oder anders gesagt: ist die allgemeine Gleichung der log. Spirale K (φ – φ0) r = r0 ∙ e so gehören jedem Punkte der beliebigen Strombahn ein längs derselben stets veränderlicher Wertekomplex (r0, K, φ0) zu. Das würde besagen, daß der Ursprung um den die log. Spirale sich entwickelt ständig seinen Ort verändert, wenn man längs der beliebigen Strombahn fortschreitet, daß also r und cu in Gl. 2) für einen wandernden Bezugspunkt zu nehmen sind. (Der geometrische Ort dieser Bezugspunkte wäre somit eine Art Evolute der beliebigen Strombahn!) Dieser Ursprung muß jedoch im Sinne der Behandlung der Aufgabe fest bleiben und daraus folgt, daß die beliebige Strombahn notwendig eine log. Spirale sein muß. Die Eulerschen Gleichungen habe ich deswegen angeschrieben, um zu zeigen, daß in einer beliebigen Richtung r eines Strömungsbereiches gelegene Kraftkomponenten auf ein Massenteilchen selbst dann zur Wirkung gelangen, wenn keinerlei äußere Kräfte in dieser Richtung wirken, wenn das Druckgefälle in dieser Richtung die einzige Bedingung erfüllt, daß es nämlich nicht verschwindet. Dies alles ist wichtig, um den Irrtum von der „Abstützung“ zu berichtigen. Der Mechanismus einer Flüssigkeitsströmung ist eben anders, als ihn Prof. Baudisch diesbezüglich schildert. Es ist mir unverständlich, wieso nach Prof. Baudisch die „Komponenten der Zentrifugalkraft“ \frac{\mbox{Cu Cr}}{\mbox{r}} und \frac{\mbox{Cu}^2}{\mbox{r}} verschwinden und trotzdem gekrümmte Bahnen vorhanden sein sollen. (Bei gekrümmten Bahnen treten immer Zentrifugalkräfte auf, folglich dürfen für diesen Fall deren Komponenten nicht verschwinden.) Meiner Ansicht nach ist eben die notwendige Folge der beiden Gleichungen \frac{\mbox{Cu Cr}}{\mbox{r}}=\mbox{O} und \frac{\mbox{Cu}^2}{\mbox{r}}=\mbox{O} die, daß cu = o wird und für den allgemeinen Fall α ≠ , = o sein muß. Entweder die beiden Ausdrücke verschwinden, dann herrscht Ruhe im Strömungsbereiche, oder aber sie verschwinden nicht, dann müssen sie in den Ausdrücken für die Kraft- und Beschleunigungskompetenten ersichtlich bleiben. Prof. Baudischs Ansicht von der „festigkeitslosen Strombahn“ ist abzulehnen. Zunächst meint er wohl eine fiktive Leitschaufel,In gewisser Hinsicht liefern die in I, II, III ausgeführten Dinge gute Beispiele, so daß ein Verweis auf diese Abhandlungen genügt. Der allgemeine Gesichtspunkt, den wir hier einnehmen, ist dort aber noch nicht vertreten. denn der Begriff der Strombahn schließt deren Belastbarkeit durch Druckwirkung aus. Eine solche fiktive Leitschaufel ist ideell der geometrische Ort aller Strombahnen, welche eine gegebene Anfangsbedingung erfüllen, z.B. zum gleichen Zeitpunkte eine gegebene Strecke schneiden. Vermöge ihrer unendlich kleinen Dicke bleibt sie solange unbelastet, als das Druckgefälle senkrecht zu ihr in ihrer unmittelbarsten Nähe nicht unstetig wird; wird dasselbe jedoch unstetig, dann ist die Strömung nicht realisierbar, die fiktive Leitschaufel existiert in ihrer Form nicht. Hiermit fällt die Bemerkung Prof. Baudischs im letzten Absatz seiner Erwiderung, und es fehlt ein richtiger Beweis für die Behauptung, daß die Strömung nach log. Spiralen auch für den schaufellosen Raum von Kreiselmaschinen nicht die geeignetste ist. Brunn, am 17. September 1928. Ing. Walther. ––––– Erwiderung. Im vorstehenden wird mir der Vorwurf gemacht, daß ich eine Ableitung der Umfangsbeschleunigung b_u=\frac{d\,c_u}{d\,t}-\frac{c_r\,c_u}{r} nicht allgemein gültig, sondern nur für den Sonderfall der logarithmischen Spirale durchführte. Um diesen Sonderfall genauer herauszufeilen, wäre es nach Ansicht des Einsenders meine Pflicht gewesen, in der oben angegebenen Gleichung für Pu den Wert den durch dc ∙ cos α zu ersetzen und ausdrücklich zu erwähnen, daß meine Gleichung (2) \frac{c_u}{r}=\frac{c}{\rho} nur für die logarithmische Spirale gilt. Ich halte dem entgegen, daß die von mir in Heft 1/2, 1928, gebrachte Ableitung der Gleichung für Pu eine derartige Einschränkung auf den Sonderfall α = konstant nicht erforderlich macht. Aber auch meine Gleichung (2) gilt wohl, was ich übrigens nie bestritten habe, für die logarithmische Spirale, sie gilt aber neben dieser auch für jede beliebige Strombahn, weil man – und dadurch kome ich zu meiner „Entgleisung“ – an jede beliebige Strombahn in jedem Punkte eine zum gleichen Koordinatenursprung gehörige logarithmische Spirale als Schmiegungskurve legen kann. Hat die beliebige Kurve in irgendeinem durch die Koordinaten r1 und φ1 gegebenen Punkte die Neigung α1 so hat, bezogen auf das gleiche Koordinatensystem, die Schmiegungsspirale dort mit K1 = tang α1 die Gleichung r_1=r_0\,e^{K_1\,(\varphi_1=\varphi_0)} Diese Schmiegungsspirale hat, da sie mit der beliebigen Kurve die gleiche Tangente hat, mit dieser zwei unendlich nahe Punkte gemeinsam. Es gehen somit für diese zwei unendlich nahen Punkte alle für die logarithmische Spirale ableitbaren Erkenntnisse auch auf die beliebige Kurve über. So insbesondere die Erkenntnis, daß das Glied -\frac{c_r\,c_u}{r} Umfangskomponente der Zentrifugalbeschleunigung \frac{c^2}{\rho} ist. Diese Umfangskomponente muß aber im schaufellosen Räume deshalb verschwinden, weil sie eine Eigenschaft einer Führungsfläche, nämlich ihre Festigkeit zum Ausdruck bringt. Selbstverständlich tritt bei gekrümmter Bahn auch im schaufellosen Räume eine Zentrifugalkraft auf, doch wird dieselbe im Rahmen der Ableitung meiner Gleichung (8) durch den nach außen zunehmenden Flüssigkeitsdruck aufgehoben. Sie darf daher nicht noch ein zweites Mal in den Gleichungen vorkommen, und dies wäre der Fall, wenn man in obiger Gleichung für bu das zweite Glied rechts für die Strömung im schaufellosen Räume beibehalten würde. Will aber der Einsender die Komponenten der Zentrifugalbeschleunigung dadurch zum Verschwinden bringen, daß er sie gleich 0 setzt, so liegt dieser mathematischen Operation eine ganz andere, hier sinnstörende physikalische Bedeutung zugrunde, nämlich der Ruhezustand des Wassers, nicht aber die Strömung im schaufellosen Räume. Die Auffassung, daß eine Stromlinie solange unbelastet bleibt, als das Druckgefälle senkrecht zu ihr in ihrer unmittelbarsten Nähe nicht unstetig wird, führt wieder zu der Erkenntnis, daß zwischen durch Schaufeln vorgeschriebenen und freien Strombahnen streng zu unterscheiden ist. Bei ersteren treten Unstetigkeiten auf, bei letzteren nicht. Der Beweis für die Behauptung, daß die Strömung nach logarithmischen Spiralen für den schaufellosen Raum von Kreiselmaschinen nicht nur nicht die geeignetste, sondern sogar unmöglich ist, liegt eben darin, daß jede solche Spirale eine Festigkeit der Bahn, somit eine Schaufel voraussetzt. Ich erwähnte schon in Heft 15/16, 1928, daß nach logarithmischen Spiralen gekrümmte Führungswände nicht unbelastet sind. Wien, im Jänner 1929. Dr. Baudisch.